「det(A - λI)」是線性代數中的一個重要概念，特別是在特徵值問題中。這個表達式表示矩陣 A 減去一個標量 λ 乘以單位矩陣 I 的行列式。這個行列式的值通常用來找到矩陣 A 的特徵值。特徵值是線性變換的固有屬性，對於許多應用，包括穩定性分析、振動分析和主成分分析等，都非常重要。
行列式是線性代數中的一個重要概念，通常用來描述方陣的性質。行列式的值可以告訴我們矩陣是否可逆，並且在計算面積和體積時也有應用。在計算行列式時，通常使用特定的公式或方法，例如拉普拉斯展開或三角形法則。行列式的值會隨著矩陣的變化而變化，這使得它在數學和工程中非常重要。
例句 1：
計算 2x2 矩陣的行列式相對簡單。
Calculating the determinant of a 2x2 matrix is relatively simple.
例句 2：
如果行列式為零，則矩陣不可逆。
If the determinant is zero, the matrix is not invertible.
例句 3：
行列式的計算在解線性方程組中非常有用。
The calculation of determinants is very useful in solving systems of linear equations.
特徵值方程是與特徵值和特徵向量相關的數學表達式，通常以矩陣的形式出現。特徵值方程的一個常見形式是 (A - λI)v = 0，其中 A 是給定矩陣，λ 是特徵值，I 是單位矩陣，v 是特徵向量。這個方程式的解可以幫助我們理解矩陣的行為，例如它的穩定性和動態特性。
例句 1：
我們需要解這個特徵值方程來找到特徵值。
We need to solve this eigenvalue equation to find the eigenvalues.
例句 2：
特徵值方程可以用來分析系統的穩定性。
The eigenvalue equation can be used to analyze the stability of the system.
例句 3：
在量子力學中，特徵值方程用於描述粒子的狀態。
In quantum mechanics, the eigenvalue equation is used to describe the state of particles.
特徵多項式是與矩陣的特徵值相關的多項式，通常由行列式 det(A - λI) 表示。這個多項式的根即為矩陣的特徵值。透過求解特徵多項式，我們可以獲得矩陣的所有特徵值，這些特徵值在數學和應用科學中都具有重要意義。
例句 1：
特徵多項式的根給出了矩陣的特徵值。
The roots of the characteristic polynomial give the eigenvalues of the matrix.
例句 2：
計算特徵多項式對於理解矩陣的性質至關重要。
Calculating the characteristic polynomial is crucial for understanding the properties of a matrix.
例句 3：
特徵多項式在控制系統設計中有重要應用。
The characteristic polynomial has important applications in control system design.
矩陣函數是定義在矩陣上的函數，通常用於描述矩陣的行為或特性。這些函數可以是行列式、特徵值、特徵向量等。矩陣函數的計算在數學和工程中非常重要，因為它們幫助我們理解系統的動態特性和穩定性。
例句 1：
矩陣函數的計算可以幫助我們分析系統的動態行為。
Calculating matrix functions can help us analyze the dynamic behavior of systems.
例句 2：
在數學中，矩陣函數有助於簡化複雜的計算。
In mathematics, matrix functions help simplify complex calculations.
例句 3：
許多科學和工程問題都涉及矩陣函數的應用。
Many scientific and engineering problems involve the application of matrix functions.